2019年センター試験数学の「データの分析」で出た変量の変換について

こんにちは．
2019年1月19日と20日はセンター試験がありましたね．
受験された皆様お疲れ様でした．

さて，今回記事で取り上げるのは，統計学でよく見られる「標準化（もしくは正規化，基準化）」というものです．
数学1Aの第2問「データの分析」の後半部分に，数量の変換というところででてきましたね！

標準化というものを，知っているだけですぐに得点がもらえるラッキー問題でした．
知らなくても答えを考えることができますが，センター試験は時間が大事なので，こういうところで節約していきたいですよね！

では早速見ていきましょう！

標準化とは！？

標準化とは，以下のような操作のことです．

データの値を比較しやすい値に変換するものです．
全てのデータxに対して，平均値で引き，さらに標準偏差で割る，という変換をしています．
標準偏差で割ることによって，値の単位が無次元化されるので，他のデータを比較するときに，データ全体にある大きさという概念が無くなります．
標準化されたデータは，平均値が0，標準偏差が1になります．

どういう意図があって，このような操作をしているかというと，

大きさが異なるデータを比較するためです．

ここでいう大きさとは，データの平均値とか単位とかそういうものです．
割ったり引いたりして，比較できるような形にしてますね．

以下が，センター試験，数学1Aの第2問の問題です．

センター試験の問題から

センター試験でも「標準化」でましたね．
異なるデータの大きさを比較できるようにするために，平均値を引いて，標準偏差で割るということをしてます．
センター試験ではこの後に，「モンシロチョウの所見日」と「ツバメの所見日」の二つのデータの比較を行うための定義の確認でしょうか．

標準化をした新たなデータは，「平均値が0」になり，「標準偏差が1」になるのは，上で説明した通りですが，センターの問題は速攻で解決できます．

これは，全てのデータから平均値を引いて，バラツキ分布の標準偏差で割っているため，熟考すると，答えがわかったかもしれません．
しかし，標準化の与式を見たときに，平均値と標準偏差の答えがすぐにパッと思いつく人はラッキーでしたね！
配点はそれぞれ1点ずつだったので，取りこぼした人もそんなにダメージは無いはずですが，，，

ちなみに，2019年のセンター試験，数学1Aの全ての問題の解答・解説はこちら

実際のデータで標準化をみる

イメージがつきにくいかもしれないので，実際にデータを使って標準化をみてみましょう！

適当においらがパパッと作ってみました！
10人（Aさん〜Jさん）の１日の睡眠時間をデータ化したものです．

左の表にはそれぞれの睡眠時間と，標準化した値をプロットしています．
右のグラフは，それをプロットしたものになります．
青が加工なしの睡眠時間で，緑が標準化したデータになっています．

標準化は，10人のデータの平均値が0，標準偏差が1になるようにデータを加工することでした．

標準化された値を見ると，全体の値に比べて誰が一番寝不足で，誰が最も寝ているかというのが見やすくなりましたね！
標準化は平均値を0としているので，緑のデータがマイナスになれば，全体に比べて寝ていない人になりますし，プラスであれば寝ている人になります．
（あくまで，検討するデータの中の全体と比べてという話です）

このプラスマイナスをとる標準化されたデータは，睡眠時間という単位の概念がなくなります．
全体に比べてデータの値が大きいか小さいかのみが議論されます．

そのため，他のデータを持ってきた時（例えば，テストの点数とか）に比較して分析することが可能になるのです．
（例えば，よく寝た人は，テストの点数が高い傾向にあるとか，無いとか）

では！