- 数学や工学が好きな人
- 非線形ダイナミクスが好きな人
- 分岐とかそこらへんを勉強したい人
こんにちは！分岐の話題もこの記事で３本目です．
（１．ダイナミクスのパラメータ依存性を考えて分岐を解く）
（２．亜臨界ピッチフォーク分岐からジャンプやヒステリシス性を見る）
それぞれ基本的分岐とちょっと特殊な亜臨界ピッチフォーク分岐について書きました．
どちらとも話の条件としては，１次元系 dx/dt=f(x) を扱っていて直線上xのベクトル場として見なして良いという考えを用いてきましたね！
そして，3次の項や5次の項が出てきましたが，内側の変数として取り扱うパラメータに関しては r の１つのみでした．
今回は，内側のパラメータを１つ増やして（でもまだ1次元系），
以上の形の分岐を考えていきたいと思います．
h=0 では，普通の超臨界ピッチフォーク分岐が起きますが，定数hがあるためベクトル場が全体的に上下するというイメージです．
ちなみに，このhを不完全パラメータと言います．
超臨界ピッチフォーク分岐なら，x=0に対して対称性がありましたが，hが加わることによってその対称性が崩れます．
そのため，不完全パラメータという呼ばれ方になっています．
２つの独立変数 r, h を考える
まずは，rからです．
これは，超臨界ピッチフォークなので，
- r<0の場合 → 安定固定点が1つ
- r>0の場合 → 安定固定点2つ＋不安定固定点1つ
ですね．簡単な復習です．
今回は，rの他にhも変動するので，少々大変です．
とりあえず，考え方の指針として，rを一定値とした場合のhの影響について考えたい．
そこで，y=-hと，y=rx-x^3の２つのグラフの交点を求めます．
上の図で注目すべきことは，右側のr>0の時ですね．
hの値によって交点が増えます．
上の図は，サドルノード分岐が起きる場合のhとrの関係です．
２つの線がちょうど接する場合 hc に，サドルノード分岐（固定点が２つ）が生じるのですね．
また|h| < hc の場合は3つの固定点を持ち，|h| > hc の場合は，1つの固定点です.
これらの結果をまとめると以下のようになります．
rとhのパラメータの値に対する安定性ダイアグラムです．
(0,0)の点は，カスプ点と呼ばれます．
3次元的に図示する
また，この (r,h)平面に対して，それぞれの固定点xを3次元的に図示して行くと，このようになります．
ちょっと頑張って図を作ってみました．
下の(r,h)平面に対して，固定点xを図示していくと，カタストロフィー面という面白い形状に遭遇します．
この局面は，ある箇所でそれ自体に折り重なるように畳み込まれてます．
パラメータの変化によっては系の状態が上側の端においやられ，下側の曲面へ不連続的に落下します．
これも一種のジャンプです．
ちなみに，以下は３Dの回転図を作ってみました．
カタストロフィーの簡単な例などは，以下「ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス」が詳しいです．
昆虫の大発生や，簡単な力学系など具体例を紹介していて面白いです．
