【非線形ダイナミクスとカオス，勉強会その3】ロジスティック方程式をやるよ

この記事はこんな人にオススメです

非線形ダイナミクスとカオスを一緒に勉強していきたい人
力学，物理学，数学が好きな人
ロジスティック方程式が好きな人

こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です．
今日もゆるい勉強会をやっていきます．
毎日ちょっとずつ本を読んで理解度を増やしていきましょう．

ということで，今回やるところは，第2章の「個体数の増加」ですね．
そういった個体数の増加を模した数学的モデル「ロジスティック方程式」について解説していきます．
気になる人はYoutubeに動画を上げているのでご覧ください．
また時間がない人は，この記事に動画のスクリーンショットを掲載しているので見ていって下さい．

動画解説はこちら

ゆるーくやっているのでお許しを

マルサス方程式とロジスティック方程式

今日は，生物個体数の増加モデルをやります．
$$\dot N = r N$$
$$\dot N = r(1-\frac{N}{K})N$$
以上二つを取り上げます．
上の式は，マルサスの方程式と呼ばれ，生物の増加が指数関数的に増加するといったモデルです．
この式ができた当時1798年は，人口増加が爆発的に起こっていた背景もあり，このような数式に従うものと考えられていました．

しかし，そのようなことは起こりえません．
どこかでブレーキがかかります．
生物の個体の数が増えすぎると，ご飯どうするの問題とか，住処(すみか)どうするの問題が出てきて，結局，与えられた環境に適した数になります．そのため，マルサスの方程式が改良され，ロジスティック方程式が生まれました．

ロジスティック方程式の環境収容力

ロジスティック方程式は生物の個体数Nの増加をモデル化したものですが，このモデルは生物の個体数に応じて，増加率が変化していくものです．
個体数Nが増えれば増えるほど，増加率rは減少していきます．
ちょうどr=0となる点が，N=Kです．
ここで，Kは環境収容力になります．

ロジスティック方程式を幾何学的に解釈する

ロジスティック方程式を幾何学的に解釈します．
$\dot N$のベクトル場を書くことでした．
つまり解法としては，$\dot N=0$となる固定点を導出し，その周りの流れから固定点が安定か不安定を決めることでしたね．
$\dot N=0$となる固定点は$N=0,K$の二つです．
このうち，$N=K$が周囲のベクトルの流れから安定になります．

この解釈は，理論的に変数分離で問題を解いた場合と一致しますね．