【フーリエ解析02】複素フーリエ級数とは?フーリエ級数が理解できていれば簡単!
この記事はこんな人にオススメです.
  • 複素フーリエ級数の理解を深めたい人
  • 研究でフーリエ変換などを用いて周波数解析をしているが,あまり内側のアルゴリズムが理解できてない人
  • 理系の大学生や大学院生の方

こんにちは.けんゆー(@kenyu0501_)です.
前回のフーリエ級数に引き続き,今回は「複素フーリエ級数」の説明をしていきます.


(フーリエ級数自体を理解していない方はこちら)
フーリエ変換を理解する上でも,複素フーリエ級数の理解は必須です.

しかし,コサインやサインで展開するフーリエ級数が理解できている人はとても簡単な内容だと思います.

複素フーリエ級数の展開は!?

あらゆる関数は,フーリエ級数で展開できることは,前回やりました.
前回はコサインやサインを使った実数の世界の展開です.

「複素フーリエ級数」は三角関数のコサインとサインの展開ではなく,複素指数関数を使った展開になります.
ただそれだけです.
しかし,複素指数関数自体も,三角関数のコサインとサインから構成されているので,性質自体はほとんど一緒です.
複素指数関数で展開するメリットは以下です.

  • 展開式が綺麗にまとまる
  • フーリエ変換につながる

複素フーリエ変換に関しては,有限な積分区間Tがあります.
ここは,フーリエ級数の概念と同じです.
有限な区間Tの周期関数になりましたね!

しかし,フーリエ変換の場合は,この区間が-∞から∞までになりますが,またこの話は後日...

複素指数関数の直交性

複素指数関数で展開する時には,やはり展開された全ての項が直交基底で成り立ちます.
こちらは,平面ベクトルと同様な性質を持つためすごく理解しやすいです.
ただ,多次元になるので,図示するのはできませんが,概念としては,上の図のようになります.

直交基底に関しては,フーリエ級数と同様に,積分をして,複素フーリエ係数を導出できます.
直交基底なので,\(n\)や\(m\)の整数が異なると,0になりますね.

複素フーリエ係数の導出

複素フーリエ係数の\(c_n\)を導出する際には,「展開式の両辺に右から複素指数関数\(e^{-\frac{2\pi nt}{T}}\)をかけて,その後,区間\(T\)で積分をする」だけです.

そうすることで,上記のように\(c_n\)を導出することができます.

動画解説はこちら

練習問題を解いて理解度を高めよう!

解説はこちらです

参考にした本「道具としてのフーリエ解析」