【フーリエ解析03】(連続)フーリエ変換って何？？非周期関数の周波数解析！！【解説動画あり】

この記事はこんな人にオススメです

フーリエ変換について学びたい人
研究で周波数解析をしている人
FFTなどを使用してはいるものの，フーリエ変換の内側のアルゴリズムを理解できていない人

こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です．
前回の「複素フーリエ級数」に引き続き，今回は「フーリエ変換」についてやっていきます．

【フーリエ解析02】複素フーリエ級数とは？フーリエ級数が理解できていれば簡単！
https://kenyu-life.com/2019/06/07/complexfourierseries/
この記事はこんな人にオススメです．複素フーリエ級数の理解を深めたい人研究でフーリエ変換などを用いて周波数解…

(複素フーリエ級数に関してはこちら！)
複素フーリエ級数を理解している方は，フーリエ変換もかなり簡単に理解できると思います！
そして，ちょっと注意が必要なのは，このフーリエ変換は連続の関数$f(t)$を扱うものです．
(離散フーリエ変換とはまたちょっと違います．)

まずは複素フーリエ級数をちょっと復習して，連続フーリエ変換を学習するぞー！！それらの違いについてもはじめに比較していくよ！

複素フーリエ級数のおさらい

上のスライドは複素フーリエ級数展開の，フーリエ係数$c_n$を導出するものです．
このスライドをパッとみて，内容が理解できる方は，次に進んでください！
もし，内容が理解できないのであれば，こちらから複素フーリエ級数についてもう一度復習してみてください！

複素フーリエ級数とフーリエ変換の比較

複素フーリエ級数の特徴

複素フーリエ級数は，関数を複素指数関数$e$で展開しましたね．
この複素フーリエ級数はいくつか大事なことがありました．
それは，

定義区間$T$が必要
周期関数を扱う
周波数スペクトルがとびとび

でしたね．
周期$T$で繰り返される波になるのでしたね．
またその結果，基本の角周波数$\omega_0$というものが出てきて，周波数情報は，その整数倍に従うものでした．

フーリエ変換は！？

一方でフーリエ変換はどうでしょう．
フーリエ変換は，複素指数関数$e$で展開するものの，関数$f(t)$の考える区間が無限です．

定義区間が$T$ではなく，-∞から∞なのです．
その結果，周期$T$で決められる基本角周波数$\omega_0$から算出される周波数スペクトル情報ではなく，連続関数になります．

複素フーリエ級数で計算される周波数は関数ではなく，「とびとびの値」だったね！基本角周波数$\omega_0$の整数倍だったね！

フーリエ変換は，以下のような特徴があります

定義区間が無限大
非周期関数を扱う
周波数スペクトルは連続関数になる！

フーリエ変換では，周波数スペクトルが関数になることがとても重要なポイントです．
以下のイメージ図でざっくりと周波数情報の違いを理解してください．

上のイメージが理解できると凄く良いぞ！

複素フーリエ級数からフーリエ変換への解釈

さてさて，「複素フーリエ級数」から「フーリエ変換」へ移り変わる解釈をしてみましょう！

級数展開の場合，周波数スペクトルが線で現れたと思います．
元の関数$f(t)$を表現するときには，無限に現れるそれらスペクトルの線の総和をとりました．
そうすることで表現してましたね！

フーリエ変換は，周波数成分がこのような線のスペクトルという考え方をしません．
ではどうやるのでしょうか．

フーリエ変換では，周波数成分を幅のもったブロックと解釈します．
周波数スペクトルが，最終的に連続になるのですが，これは考えている関数$f(t)$の周期$T$が無限大$\infty$であるからです．
角周波数は$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$であるため，分母の大きさが無限大級に大きくなると，角周波数$\omega_0$は非常に小さくなるのです．

角周波数$\omega_0$が非常に小さくなった結果，周波数スペクトルの間隔が非常に狭くなり，線ではなくブロックで解釈するということになります．
そして，その一つ一つのブロックの面積を$c_ne^{i\omega_0nt}$と知れば良いのです．

これまで周波数情報を算出するために，周波数スペクトルの総和を計算する問題だったものに対して，フーリエ変換では面積を計算する問題となるのです．

面積を計算するから，積分が出てくるんだよ！区分求積分だね！

逆フーリエ変換の導出

まず初めに逆フーリエ変換についての導出から行います．
なぜかと言うと，複素フーリエ級数展開に対応するのが，逆フーリエ変換だからです．
フーリエ変換の操作は，展開項のフーリエ係数を導出するものに対応してます．

では，上のスライドの複素フーリエ級数から逆フーリエ変換の式が導出される流れをみてください．
周波数スペクトルを面積として考える方法になります．

途中，$\frac{1}{2\pi}$でくくり出されているのは，フーリエ変換の式を簡単にするためです．
別にくくり出さなくても良いですが，その場合は，フーリエ変換の公式の前に$\frac{1}{2\pi}$が入ります．
(くくり出した場合は，逆フーリエ変換の公式の積分公式の前に$\frac{1}{2\pi}$が入っています)

式変形の際には，いくつか新しい変数も導入しています．

$\omega (n)=\omega_0n$
$F(\omega (n))=\frac{2\pi c_n}{\omega_0}$

$\omega (n)$は，基本角周波数$\omega_0$のn倍の値を持つ角周波数として定義してます．
$F(\omega (n))$は，周波数スペクトルを表す新たな変数です．
フーリエ係数$c_n$に関して色々と変化する値です．

それらを元に式を変形させて，最終的に$T_0 → \infty$の極限の状態を考えることによって，以下の積分の状態になります．
$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t} d \omega$$
これが，逆フーリエ変換の公式になります．

ちょっと難しいけど，ノートに書き写しながら理解度を高めてね！

フーリエ変換の式の導出

フーリエ変換の式の導出は，逆フーリエ変換で定義した新しい周波数スペクトルの式$F(\omega (n))=\frac{2\pi c_n}{\omega_0}$を使います．
この周波数スペクトルの式に含まれるフーリエ係数$c_n$に複素フーリエ係数の値を代入し，$T_0 → \infty$の極限の状態を考えることによって，以下の式を得ます．
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t} dt $$
こちらがフーリエ変換の式になります．
(積分の前に$\frac{1}{2\pi}$が入っていないのは，逆フーリエ変換でくくり出していたからなのです)

フーリエ変換の公式がなぜそうなるのか理解できたかな！？