【フーリエ解析04】離散フーリエ変換(DFT)とは？【解説動画付き】

この記事はこんな人にオススメです．

離散フーリエ変換について詳しく知りたい人
高速フーリエ変換(FFT)を使用しているけど，内側の仕組みを詳しく理解できていない人
信号処理に興味がある人

こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です．
今日は，「離散フーリエ変換(DFT)」について詳しくやっていきます．
前回は連続のフーリエ変換についてやりましたので，そちらを理解したい人は以下をご覧ください．

【フーリエ解析03】フーリエ変換って何？？
https://kenyu-life.com/2019/06/21/fft03/
この記事はこんな人にオススメですフーリエ変換について学びたい人研究で周波数解析をしている人 FFTなどを使…

複素フーリエ級数，連続フーリエ変換を理解しているのであればすぐに理解できるぞ！

離散フーリエ変換とは

離散フーリエ変換とは，離散データに関して行うフーリエ変換です．
フーリエ変換とは一般的に，時間領域のデータを周波数領域のデータに変換することです．
実験などでセンシングしたデータに関しては，飛び飛びの離散信号(ディジタル)になっているはずなので，そういったデータに関しては，離散フーリエ変換を扱います．
(アナログ信号からディジタル信号に変換するAD変換についてはこちらです．)

離散フーリエ変換は，有限の時間 \(T\) を扱うので，どっちかというと複素フーリエ級数に近いです．
前回やった連続のフーリエ変換は，-\(\infty\)から\(\infty\)までだったので，有限な区間という概念がありませんでしたね．

離散フーリエ変換は積分ができない

離散フーリエ変換は，ディジタル信号を扱っているので，積分ができません．
関数の面積という概念がないので当然っちゃ当然ですが，積分をすると0になります．
そのため，離散信号に関しては，ある工夫が必要です．

離散フーリエ変換で周波数領域に持っていく工夫

離散フーリエ変換では，複素フーリエ級数のように扱います．
上の図をご覧ください．
有限の時間 \(T\) に関して，それぞれの離散信号の数の分，複素正弦波に当てはめます．
上の例では，4つの信号があるので，4つの複素正弦波を使用しています．

こうして得られた式が，離散フーリエ変換の基本式になっています．

直交性に関して

先ほどの例では，4つの複素正弦波を使用しましたが，それらは直交しています．
複素フーリエ級数と同じですね．
\(x(t)\) というものを関数空間の1点としてみたて，それを直交する4つの複素正弦波の1次結合として表したものになります．

この基本式に対して，各サンプル時間の値を代入していきます．以下をご覧ください．

以上の連立方程式を解いて，離散信号 \(x_0 ~ x_3\) から，周波数情報 \(c_0 ~ c_3\) の関係を導出していきます．

周波数情報の導出

先ほどの4つの連立方程式を行列形式に変換します．
その後以下の操作を行って式の簡略化をします．

一般化したものが，上のものになります．
離散フーリエ変換とは， \(N\)個のディジタル信号 \({x_0, x_1, x_2, \cdots, x_{N-1}}\)と，そのデータ長に対応する複素正弦波の係数\({X_0, X_1, X_2, \cdots, X_{N-1}}\)を結びつける変換になります．