二項定理とは?多項定理とは?
この記事はこんな人にオススメです
  • 二項定理や多項定理をしっかり理解したい人
  • 数学が好きな人
  • 理系大学生や現役高校生の方

数学をしているとよく出てくる展開式,,,
あれ,乗数がかなり多いと展開がめんどくさいので,必然と二項定理(もしくは多項定理)を使わざるを得ないですよね.

ペンのすけ

時間のある暇な中学生は,定理を使わないでじゃんじゃん展開をしてくのだぞ!


そこで,今回は,二項定理(多項定理)の定義を確認して,実際に問題を解いて理解を深めましょう!
と言うことで,早速やっていきましょう!

二項定理とは

高校数学だと数2で学習すると思いますが,二項定理とは以下です.

一見複雑そうに見えると思いますが,とても簡単です.
組合せCの式で,各項を展開しているだけで,どのように展開しているかと言うと以下のようになります.


ペンのすけ

なるほど,結構簡単だな!


つまり,n個の因数(a+b)のうち,r個からbを取り,残りの(n-r)個からaを選ぶ組合せCの積として考えています.
簡単ですよね.

パスカルの三角形

ここで(a+b)のn乗の展開式の各項の係数(二項係数)を具体的に考えて書き出していきます.
(a+b)の5乗まで,考えていくことにしましょう!

二項係数nC0,,,,nCnの値を,nについて上から順に三角形状に並べると,上の図のような三角形ができます.
これをパスカルの三角形といいます.

パスカルの三角形には以下のような性質があります.

  1. 各行の左右の両端の数は1である
  2. 左右対象である
  3. 両端以外の各数は,その左上の数と右上の数の和に等しい

 

ペンのすけ

覚えておくと良いことがあるかもしれないぞ

多項定理

これまでは,(a+b)の二つの項だけでしたが,これを3つの項a,b,cに拡張します.

つまり,(a+b+c)のn乗を展開です.
これを多項定理と呼びます.

n個の因数a+b+cのそれぞれから,aまたはbまたはcを取り出したn個の文字の積の和です.
この時,項の数は,aをp個,bをq個,cをr個(合計n個)並べた順列と同じ個数だけあります.

多項定理の問題を解く!

数教出版のチャート式(赤)「数学II」を用いて実際に問題を解いていきましょう!

チャート式の問題より

例題2> 次の展開式における,[   ]内に指定された項の係数を求めよ.
(1)(2x-y-3z)^6  [xy^3z^2]
(2)(1+x+x^2)^8  [x^4]

練習3> (x+1+1/x)^4 の展開式における定数項を求めよ

赤チャート数学II,10133,p.13

解答

手書きの解答ですが,UPしておきます.

みんなも理解度を深めるために,問題を解いてみてくださいねー!
いろんな大学の入試問題にもよく出るようなので,理解しておくと便利ですー!